Question

已知⊙O′过定点A（0，p）（p＞0），圆心O′在抛物线x²=2py上运动，MN为圆O′截x轴所得的弦，令|AM|=d₁，|AN|=d₂，∠MAN=θ．
（1）当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；
（2）求

d1

d2

+

d2

d1

的最大值，并求取得最大值的θ值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）根据圆的半径，得到方程为（x-x₀）²+（y-y₀）²=x²₀+（y₀-p）²，令y=0，得到关于x₀的方程，继而求出|MN|=|x_N-x_M|=2p，故问题得以解决，
（2）分别表示出d₁，d₂，再利用基本不等式，求出

d1

d2

+

d2

d1

的最大值，根据等号成立的条件求出△MO′N为等腰直角三角形，问题得以解决

解答： 解：（1）设圆心O′（x₀，y₀），则x²₀=2py₀，圆O′的半径|CA|=

x02+(y0-p)2

 ，其方程为（x-x₀）²+（y-y₀）²=x²₀+（y₀-p）²，
令y=0，并将x²₀=2py₀，代入，得x²-2x₀x+x²₀-p²=0，
解得x_m=x₀-p，x_N=x₀+p，
∴|MN|=|x_N-x_M|=2p（定值）
（2）∵d₁=|AM|=

(x0-p)2+p2

，d₂=|AN|=

(x0+p)2+p2

，
∴d₁²+d₂²=4p²+2x²₀，d₁•d₂=

4p4+x04

，
∴

d1

d2

+

d2

d1

=

d12+d22

d1d2

=

4p2+2x02

4p4+x04

=

4p(p+y0)

2p p2+y02

=2

1+ 2py0 p2+y02

≤2

2

，当且仅当y₀=p时等号成立，x₀=±

2

p，此时△MO′N为等腰直角三角形，且∠MO′N=90°，
∴∠MAN=

1

2

∠MO′N=45°，
故当θ=45°时

d1

d2

+

d2

d1

有最大值．

点评：本题考查了圆，抛物线，基本不等式的有关知识，关键设出圆心O′（x₀，y₀），考查了学生的转化能力，计算能力，属于中档题