Question

11．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{x}{2}$-1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$，cos²$\frac{x}{2}$），函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+1．
（Ⅰ）若x∈[$\frac{π}{2}$，π]，求f（x）的最小值及对应的x的值；
（Ⅱ）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）=$\frac{11}{10}$，求sinx的值．

Answer 1

分析 （I）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最小值及对应的x的值．
（II）由条件求得sin（x-$\frac{π}{6}$），再利用同角三角函数的基本关求得cos（x-$\frac{π}{6}$）的值，利用两角和的正弦公式求得sinx=sin[（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]的值．

解答 解：（I）由题意f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+1=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$•cos$\frac{x}{2}$-cos²$\frac{x}{2}$+1
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx-\frac{1+cosx}{2}+1=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx+\frac{1}{2}$=$sin（{x-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$，
∵$x∈[{\frac{π}{2}，π}]$，∴$\frac{π}{3}≤x-\frac{π}{6}≤\frac{5}{6}π$，∴$x-\frac{π}{6}=\frac{5}{6}π$，
即x=π时，f（x）_min=1．
（II）$f（x）=\frac{11}{10}$，即$sin（{x-\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}=\frac{11}{10}$，得$sin（{x-\frac{π}{6}}）=\frac{3}{5}$．
∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{6}≤x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{3}$，∴$cos（{x-\frac{π}{6}}）=\frac{4}{5}$，
∴$sinx=sin（{x-\frac{π}{6}+\frac{π}{6}}）=sin（{x-\frac{π}{6}}）•\frac{{\sqrt{3}}}{2}+cos（{x-\frac{π}{6}}）•\frac{1}{2}$ 
=$\frac{3}{5}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{4}{5}×\frac{1}{2}=\frac{{3\sqrt{3}+4}}{10}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，同角三角函数的基本关系，属于中档题．