Question

已知A，B，C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，向量

OA

，

OB

，

OC

满足

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据

OA

-(

3

2

x2+1)•

OB

-[ln(2+3x)-y]•

OC

=

0

表示出向量

OA

，再由A，B，C三点共线可得到关系式

3

2

x2+1+ln(2+3x)-y=1，整理即可得到答案．
（2）将函数f（x）的解析式代入f（x）=2x+b中，整理可得

3

2

x2-2x+ln(2+3x)=b，然后令?(x)=

3

2

x2-2x+ln(2+3x)，根据导数判断其单调性并求出其单调区间，即可求得函数φ（x）的最小值，再根据在[0，1]上恰有两个不同的实根结合函数的性质求出答案．

解答：解：（1）

OA

=(

3

2

x2+1)•

OB

+[ln(2+3x)-y]•

OC

∵A，B，C三点共线，
∴

3

2

x2+1+ln(2+3x)-y=1∴y=

3

2

x2+ln(2+3x)
（2）方程f（x）=2x+b即

3

2

x2-2x+ln(2+3x)=b
令?(x)=

3

2

x2-2x+ln(2+3x)，
∴?′(x)=

3

2+3x

+3x-2=

9x2-1

2+3x

=

(3x+1)(3x-1)

2+3x

当x∈(0，

1

3

)时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，
当x∈(

1

3

，1)时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，
∴φ（x）有极小值为?(

1

3

)=ln3-

1

2

即为最小值．
又φ（0）=ln2，?(1)=ln5-

1

2

，又ln5-

1

2

-ln2
=ln

5

2 e

=

1

2

ln

25

4e

＞

1

2

ln

25

4×3

＞0∴ln5-

1

2

＞ln2．
∴要使原方程在[0，1]上恰有两个不同实根，必须使ln3-

1

2

＜b≤ln2．

点评：本题主要考查向量的三点共线问题和根据导函数的正负判断函数的单调性的问题．考查基础知识的综合运用．