Question

【题目】已知函数。

（Ⅰ）当a=2，求函数f（x）的图象在点（1，f(1) ）处的切线方程；

（Ⅱ）当a>0时，求函数f（x）的单调区间。

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】【试题分析】（1）先求当时，函数的导数，求出切线的斜率，再运用直线的点斜式方程求出切线的方程；（2）先对含参数的函数解析式进行求导，再运用分类整合的数学思想，对实数进行分类讨论函数的单调性，分别求出其单调区间：

（1）当时， ，

，

函数的图象在点处的切线方程为.

(2)由题知，函数的定义域为，

，

令，解得,

（I） 当时，所以，在区间和上；在区间上，故函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.-

（II）当a=2时，f’(x)>=0 恒成立，故函数f(x)的单调递增区间是（0，+∞）

（III）当1＜a＜2时，a-1＜1,在区间（0，a-1），和（1，+∞）上f’(x)>0 ；在（a-1，1）上f’(x)＜0 ，故函数的单调递增区间是（0，a-1），（1，+∞），单调递减区间是（a-1，1）

(IV)当a=1时，f’(x)=x-1, x＞1时f’(x)＞0， x＜1时f’(x)＜0，

函数的单调递增区间是 （1，+∞）， 单调递减区间是

（V）当0＜a＜1时，a-1＜0，函数的单调递增区间是 （1，+∞），

单调递减区间是,

综上，（I）时函数的单调递增区间是和，单调递减区间是

(II) a=2时，函数f(x)的单调递增区间是（0，+∞）-

(III) 当0＜a＜2时，函数的单调递增区间是（0，a-1），（1，+∞），单调递减区间是（a-1，1）

（IV）当0＜a≤1时，函数的单调递增区间是 （1，+∞）， 单调递减区间是