Question

已知圆C的方程为（x-1）²+y²=1，P是椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，求

PA

•

PB

的范围为（　　）

• A、[0，

  56

  9

  ]
• B、[2

  2

  -3，+∞]
• C、[2

  2

  -3，

  56

  9

  ]
• D、[

  3

  2

  ，

  56

  9

  ]

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,平面向量数量积的运算

专题：向量与圆锥曲线

分析：利用圆切线的性质：与圆心切点连线垂直；设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出

PA

•

PB

，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．

解答： 解：设PA与PC的夹角为α，则|PA|=PB|=

1

tanα

，
∴y=

PA

•

PB

=|PA||PB|cos2α=

1

tan2α

•cos2α=

1+cos2α

1-cos2α

•cos2α．
记cos2α=u，则y=

u(u+1)

1-u

=-3+（1-u）+

2

1-u

≥2

2

-3，
∵P在椭圆的左顶点时，sinα=

1

3

，∴cos2α=

7

9

，
∴

PA

•

PB

的最大值为

1+ 7 9

1- 7 9

•

7

9

=

56

9

，
∴

PA

•

PB

的范围为[2

2

-3，

56

9

]．
故选：C．

点评：本题考查圆切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．