Question

已知定义域为R的函数f（x）=

a•2x-2

2(2x+1)

满足f（0）=0．
（1）求a，f（-2）的值，判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断该函数在R上的单调性（不要求证明），解不等式f（x²+x）＜

3

5

．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）直接由f（0）=0求得a的值，得到函数解析式，求得f（-2）的值，再由函数奇偶性的判定方法判断奇偶性；
（2）由函数解析式f(x)=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

可判断函数为实数集上的增函数，把

3

5

用f（2）代替后利用单调性转化为二次不等式求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a•2x-2

2(2x+1)

且f（0）=0，
∴

a•20-2

2(20+1)

=0，解得a=2．
∴f(x)=

2(2x-1)

2(2x+1)

=

2x-1

2x+1

，则f(-2)=

2-2-1

2-2+1

=-

3

5

．
∵f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x 2x

1+2x 2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
∴f（x）为定义域内的奇函数；
（2）f(x)=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

．
f（x）为实数集上的增函数，
由f（x²+x）＜

3

5

，得f（x²+x）＜

3

5

=f（2），
∴x²+x＜2，解得-2＜x＜1．
∴不等式f（x²+x）＜

3

5

的解集为（-2，1）．

点评：本题考查了函数单调性和奇偶性的性质，考查了不等式的解法，考查了数学转化思想方法，是中档题．