Question

已知{a_n}是首项为1的等比数列，S_n是{a_n}的前n项的和，且9S₃=S₆，则数列{

1

an

}的前5项的和为（　　）

• A、

  15

  8

  或5
• B、

  31

  16

• C、

  31

  16

  或5
• D、

  15

  8

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：根据等比数列的前n项和公式，对公比q进行分类讨论，列出关于q的方程求出q，代入通项公式求出a_n，再求出

1

an

，利用等比数列的前n项和公式求出数列{

1

an

}的前5项的和．

解答： 解：设等比数列{a_n}的公比是q，且首项为1，
若q=1时，9S₃=9、S₆=6，则不满足9S₃=S₆，所以q=1不成立；
若q≠1，由9S₃=S₆得，9×

1-q3

1-q

=

1-q6

1-q

，
化简得，q⁶-9q³+8=0，解得q³=8或q³=1，
所以q=2或q=1（舍去），
则a_n=2^n-1，所以

1

an

=

1

2n-1

，
则数列{

1

an

}的前5项的和S=1+

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

=

1- 1 25

1- 1 2

=2（1-

1

25

）=

31

16

，
故选：B．

点评：本题考查等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，以及分类讨论思想．