Question

5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2，a₂=8，S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），T_n是数列{log₂a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求满足（1-$\frac{1}{{T}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{T}_{3}}$）…（1-$\frac{1}{{T}_{n}}$）＞$\frac{51}{101}$的最大正整数n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n≥2时，由S_n+1+4S_n-1=5S_n可得a_n+1=4a_n，从而解得；
（Ⅱ）化简T_n=1+3+…+（2n-1）=$\frac{{n（{1+2n-1}）}}{2}$=n²，从而可得$（{1-\frac{1}{T_2}}）（{1-\frac{1}{T_3}}）•…•（{1-\frac{1}{T_n}}）$=$\frac{{{2^2}-1}}{2^2}•\frac{{{3^2}-1}}{3^2}•\frac{{{4^2}-1}}{4^2}•…•\frac{{{n^2}-1}}{n^2}$=$\frac{n+1}{2n}$，从而求得．

解答 解：（Ⅰ）∵当n≥2时，S_n+1+4S_n-1=5S_n，
∴S_n+1-S_n=4（S_n-S_n-1），
∴a_n+1=4a_n．
∵a₁=2，a₂=8，∴a₂=4a₁．
∴数列{a_n}是以2为首项，公比为4的等比数列．
∴${a_n}=2•{4^{n-1}}={2^{2n-1}}$．
（Ⅱ）由（1）得：
T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n
=1+3+…+（2n-1）=$\frac{{n（{1+2n-1}）}}{2}$=n²．
故$（{1-\frac{1}{T_2}}）（{1-\frac{1}{T_3}}）•…•（{1-\frac{1}{T_n}}）$
=（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）
=$\frac{{{2^2}-1}}{2^2}•\frac{{{3^2}-1}}{3^2}•\frac{{{4^2}-1}}{4^2}•…•\frac{{{n^2}-1}}{n^2}$
=$\frac{{1•3•2•4•3•5•…•（{n-1}）（{n+1}）}}{{{2^2}•{3^2}•{4^2}•…•{n^2}}}$=$\frac{n+1}{2n}$．
令$\frac{n+1}{2n}$$＞\frac{51}{101}$，
解得：n＜101．
故满足条件的最大正整数n的值为100．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了学生的化简运算能力．