Question

16．已知等比数列{a_n}的公比q=3，且a₁，a₂+2，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=log₃a_n+1，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（Ⅱ）由条件及（Ⅰ）得，${b_n}={log_3}{a_{n+1}}={log_3}{3^n}=n$，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵等比数列{a_n}的公比q=3，
∴${a_n}={3^{n-1}}{a_1}$，
∴a₂=3a₁，a₃=9a₁．   
又∵a₁，a₂+2，a₃成等差数列，
∴a₁+a₃=2（a₂+2），即a₁+9a₁=2（3a₁+2），解得a₁=1，
∴${a_n}={3^{n-1}}$，
∴数列{a_n}的通项公式${a_n}={3^{n-1}}$．
（Ⅱ）由条件及（Ⅰ）得，${b_n}={log_3}{a_{n+1}}={log_3}{3^n}=n$，
∴${T_n}=1+2+3+…+n=\frac{1}{2}n（n+1）$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．