Question

8．已知等差数列{a_n}中，2a₂+a₃+a₅=20，且前10项和S₁₀=100．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列$\{{a_n}•{2^{a_n}}\}$的前n项和．

Answer 1

分析 （I）设出等差数列的公差，利用已知条件，列出方程，即可求解数列{a_n}的通项公式；
（II）数列$\{{a_n}•{2^{a_n}}\}$的表达式，利用错位相减法求解数列的前n项．

解答 解：（ I）设公差为d，由已知得$\left\{\begin{array}{l}2{a_2}+{a_3}+{a_5}{=4}{a_1}{+8}d{=20}\\ 10{a_1}{+}\frac{{{10}×{9}}}{2}d{=10}{a_1}{+45}d{=100}\end{array}\right.$，（2分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2\end{array}\right.$，（4分）
所以{a_n}的通项公式为a_n=5+2（n-3）=2n-1，（5分）
（ II）由（ I）可知${a_n}•{b_n}=（2n-1）×{2^{2n-1}}$，
所以${S_n}=1×{2^1}+3×{2^3}+5×{2^5}+…+（2n-3）×{2^{2n-3}}+（2n-1）×{2^{2n-1}}$，①$4{S_n}=1×{2^3}+3×{2^5}+5×{2^7}+…+（2n-3）×{2^{2n-1}}+（2n-1）×{2^{2n+1}}$，②（7分）
①-②得：$-3{S_n}=2+2×（{2^3}+{2^5}+…+{2^{2n-1}}）-（2n-1）×{2^{2n+1}}$，
∴${S_n}=\frac{{2+2×（{2^3}+{2^5}+…+{2^{2n-1}}）-（2n-1）×{2^{2n+1}}}}{-3}$（9分）
=$\frac{{2+2×（\frac{{8（1-{4^{n-1}}）}}{1-4}）-（2n-1）×{2^{2n+1}}}}{-3}$
=$\frac{{-6+2×8（1-{4^{n-1}}）+（6n-3）×{2^{2n+1}}}}{9}$（11分）
=$\frac{{10+（6n-5）×{2^{2n+1}}}}{9}$（12分）

点评 本题考查等差数列的性质，错位相减法求解数列的和的方法，考查计算能力．