Question

19．已知函数f（x）=$\frac{1+x}{1-x}$•e^-ax（a＞0）．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=$\frac{1}{2}$处的切线方程；
（2）讨论方程f（x）-1=0根的个数．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．
（2）由f（x）-1=0得f（x）=1，求函数的导数f′（x），判断函数的单调性，利用函数单调性和最值之间的关系进行判断即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=$\frac{1+x}{1-x}$•e^-2x．f（$\frac{1}{2}$）=3e^-1，
又f′（x）=$\frac{2{x}^{2}}{（1-x）^{2}}$•e^-2x，∴f′（$\frac{1}{2}$）=2e^-1，
故所求切线方程为y-3e^-1=2e^-1（x-$\frac{1}{2}$），即y=$\frac{2}{e}$x+$\frac{2}{e}$．（4分）
（Ⅱ）方程f（x）-1=0即f（x）=1．
f（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞），
当x＜-1或x＞1时，易知f（x）＜0，故方程f（x）=1无解；（6分）
故只需考虑-1≤x≤1的情况，
f′（x）=$\frac{a{x}^{2}+2-a}{（1-x）^{2}}$•e^-2x，
当＜a≤2时，f′（x）≥0，所以f（x）区间[-1，1）上是增函数，又易知f（0）=1，
所以方程f（x）=1只有一个根0；（8分）
当a＞2时，由f′（x）=0可得x=±$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$，且0＜$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$＜1，
由f′（x）＞0可得-1≤x＜-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$或$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$＜x＜1，
由f′（x）＜0可得-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$＜x＜$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$，
所以f（x）单调增区间为[-1，-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$）和（$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$，1）上是增函数，
f（x）单调减区间为（-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$，$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$），
由上可知f（$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$）＜f（0）＜f（-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$），即f（$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$）＜1＜f（-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$），
在区间（-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$，$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$）上f（x）单调递减，且f（0）=1，
所以方程f（x）=1有唯一的根x=0；
在 区间[-1，-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$）上f（x）单调递增，且f（-1）=0＜1，f（-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$）＞1，
所以方程f（x）=1存在唯一的根0
在区间（$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$，1）上，由f（$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$）＜1，x→1时，f（x）→+∞，
所以方程f（x）=1有唯一的根；
综上所述：当0＜a≤2时，方程f（x）=1有1个根；
当a＞2时，方程f（x）=1有3个根．（12分）

点评 本题主要考查函数的切线的求解以及方程根的个数的判断，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．