Question

14．设$a=\int_0^π{（{sinx+cosx}）dx}$，且${（{{x^2}-\frac{1}{ax}}）^n}$的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{256}$
• C． 64
• D． $\frac{1}{64}$

Answer 1

分析 利用定积分求出a的值，再根据题意求出n的值，令x=1求得展开式中的所有项的系数之和．

解答 解：$a=\int_0^π{（{sinx+cosx}）dx}$=（-cosx+sinx）${|}_{0}^{π}$=2，
∴${（{{x^2}-\frac{1}{ax}}）^n}$=${{（x}^{2}-\frac{1}{2x}）}^{n}$；
其展开式中只有第4项的二项式系数最大，
∴展开式中共有7项，∴n=6；
令x=1，得展开式中的所有项的系数之和是
${（1-\frac{1}{2}）}^{6}$=$\frac{1}{64}$．
故选：D．

点评 本题考查了二项式定理与定积分的应用问题，是基础题．