Question

【题目】已知函数是奇函数．

（1）求实数的值；

（2）用定义证明函数在上的单调性；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（1）由奇函数性质得，解得．注意验证（2）注意设时两数的任意性，作差要进行因式分解，提取公因式，最后确定各个因子符号，得差的符号，确定单调性（3）根据奇偶性将不等式转化为，再根据函数单调性得，利用参变分离转化为对应函数最值问题：最小值，由二次函数单调性确定最小值，即得实数的取值范围．

试题解析：解：（1）∵函数的定义域为，且是奇函数，

∴，解得．

此时，满足，即是奇函数．

∴．

（2）任取，且，则，，

于是 ，

即，故函数在上是增函数．

（3）由及是奇函数，知，

又由在上是增函数，得，即对任意的恒成立，

∵当时，取最小值，∴．