Question

在（1+x²）（1-2x）⁶的展开式中，x⁵的系数为

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：根据题意，先求出（1-2x）⁶展开式的通项，分析可得（1+x²）（1-2x）⁶展开式中出现x⁵的项有两种情况，①，（1+x²）中出1，而（1-2x）⁶展开式中出x⁵项，②，（1+x²）中出x²项，而（1-2x）⁶展开式中出x³项，分别求出其系数，进而将求得的系数相加可得答案．

解答： 解：根据题意，（1-2x）⁶展开式的通项为T_r+1=C₆^r•（-2x）^r=（-1）^rC₆^r•2^rx^r，
则（1+x²）（1-2x）⁶的展开式中出现x⁵的项有两种情况，
第一种情况（1+x²）中出1，而（1-2x）⁶展开式中出x⁵项，其系数为1×（-1）⁵C₆⁵2⁵=-192，
第二种情况（1+x²）中出x²项，而（1-2x）⁶展开式中出x³项，其系数为1×(-1)3

C

3 6

•23=-160，
则（1+x²）（1-2x）⁶展开式中x⁵的系数为-192-160=-352；
故答案为：-352．

点评：本题考查二项式定理的应用，解题的关键是由多项式的乘法分析其展开式中x⁵项出现的情况．