Question

20．设x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-7≤0}\\{x-3y+1≤0}\\{3x-y-5≥0}\end{array}}$，则$z={4^x}•{（\frac{1}{2}）^y}$的最大值为（　　）

• A． 1024
• B． 256
• C． 8
• D． 4

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．

解答 解：由z=${4}^{x}•（{\frac{1}{2}）}^{y}$=2^2x-y，令u=2x-y，
作出约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-7≤0}\\{x-3y+1≤0}\\{3x-y-5≥0}\end{array}}$，对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=2x-u
由图象可知当直线y=2x-u过点A时，直线y=2x-u的截距最小，此时u最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-7=0}\\{x-3y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（5，2）．
代入目标函数u=2x-y，
得u=2×5-2=8，
∴目标函数z=${4}^{x}•（{\frac{1}{2}）}^{y}$=2^2x-y，的最大值是2⁸=256．
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．