Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$（2a+1）x²-2（a+1）x．
（1）若f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围；
（2）存在x∈[1，2]，使f（x）≤0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用（x）在x=1处取得极大值，可得-2a-2＞1，即可求实数a的取值范围；
（2）存在x∈[1，2]，使f（x）≤0，即x∈[1，2]，使f（x）_max≤0．分类讨论，即可得出结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$（2a+1）x²-2（a+1）x，
∴f′（x）=x²+（2a+1）x-2（a+1）=（x-1）（x+2a+2），
∵f（x）在x=1处取得极大值，
∴-2a-2＞1，
∴a＜-$\frac{3}{2}$；
（2）存在x∈[1，2]，使f（x）≤0，即x∈[1，2]，使f（x）_max≤0．
①-2a-2≤1，函数在[1，2]上单调递增，∴f（x）_max=f（2）=$\frac{2}{3}$，不符合题意；
②-2a-2＞2，即a＜-2，函数在[1，2]上单调递减，∴f（x）_max=f（1）=-a-$\frac{7}{6}$≤0，∴a≥-$\frac{7}{6}$，无解；
③1＜-2a-2≤2，即-2≤a≤-$\frac{3}{2}$，函数在[1，-2a-2]上单调递减，在[-2a-2，2]上单调递增，f（2）=$\frac{2}{3}$＞0，x∈[1，2]，使f（x）_max≤0，不成立．
综上所述，不存在a，对于存在x∈[1，2]，使f（x）≤0成立．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．