Question

9．已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d（b，c，d为常数），当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，则（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²的取值范围是（5，25）．

Answer 1

分析 据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．

解答 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
∵函数f（x）在x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，
∴f′（x）=3x²+2bx+c=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根，
∴f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c＞0}\\{3+2b+c＜0}\\{12+4b+c＞0}\end{array}\right.$作出不等式组对应的平面区域如图，
（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²的几何意义表示点G（-$\frac{1}{2}$，3）与可行域内的点连线的距离的平方，
点G（-$\frac{1}{2}$，3）到直线3+2b+c=0的距离为d=$\frac{丨-\frac{1}{2}×2+3+3丨}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$此时（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²最小为5，
由$\left\{\begin{array}{l}{12+4b+c=0}\\{3+2b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{9}{2}}\\{c=6}\end{array}\right.$，即A（-$\frac{9}{2}$，6），
此时AG的距离最大为AG=5，此时（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²最大为25，
∴（b+$\frac{1}{2}$）²+（c-3）²的取值范围是（5，25），
故答案为：（5，25）．

点评 本题主要考查利用导数研究函数极值，考查利用函数导数的定义将条件转化为不等式组，线性规划的知识及两点间的距离公式，综合性较强，有一定的难度，属于难题．