Question

设函数f（x）=ln（1+x）-kx，（k＞0）
（1）讨论函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，并说明理由；
（2）已知正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=3a_n+2ⁿ（n∈N^*），设数列{1+

1

an

}的前n项乘积为T_n，求证：Tn＜e

3

2

．

Answer 1

分析：（1）求得f′（x）=

-kx+1-k

1+x

，根据其定义域，对k分类讨论即可得f（x）在[0，+∞）上的单调性；
（2）利用{a_n+2ⁿ}是以3为首项，3为公比的等比数列可求得a_n，从而可得1+

1

an

，利用分析法，放缩法即可证得结论．

解答：解：（1）∵f′（x）=

1

1+x

-k=

-kx+1-k

1+x

（k＞0），
若f′（x）=0，则x=

1

k

-1，又x≥0，
∴当0＜k＜1时，

1

k

-1＞0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，

1

k

-1）上单调递增，在（

1

k

-1，+∞）上单调递减；
当k=1，f′（x）=

-x

1+x

＜0，f（x）在[0，+∞）上单调递减；
当k＞1，在区间[0，+∞）上f′（x）=

-kx+1-k

1+x

＜0恒成立，故f（x）在[0，+∞）上单调递减；
（2）∵a_n+1=3a_n+2ⁿ（n∈N^*），
∴a_n+1+2ⁿ⁺¹=3（a_n+2ⁿ），
∴

an+1+2n+1

an+2n

=3，又a₁+2=3，
∴{a_n+2ⁿ}是以3为首项，3为公比的等比数列，
∴a_n+2ⁿ=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-2ⁿ．
∴1+

1

an

=1+

1

3n-2n

，
要证T_n=（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

an

）＜e

3

2

，
只要证ln（1+

1

a1

）+ln（1+

1

a2

）+…+ln（1+

1

an

）＜

3

2

．
即证ln（1+

1

a1

）+ln（1+

1

a2

）+…+ln（1+

1

an

）-

3

2

＜0．①
由（1）知，当k=1时，f（

1

an

）=ln（1+

1

an

）-

1

an

，
∴f（

1

a1

）+f（

1

a2

）+…+f（

1

an

）=ln（1+

1

a1

）+ln（1+

1

a2

）+…+ln（1+

1

an

）-（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

），
∵{a_n}为正项数列，由（1）可知k=1时，f（x）在[0，+∞）上单调递减，

1

an

＞0，
∴f（

1

an

）＜f（0）=0，
∴ln（1+

1

a1

）+ln（1+

1

a2

）+…+ln（1+

1

an

）-（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）＜0，
即ln（1+

1

a1

）+ln（1+

1

a2

）+…+ln（1+

1

an

）＜（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

），②
由①②知，只需证

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

即可．
∵

1

a1

=1，

1

an

=

1

3n-2n

＜

1

2n

（n≥2），
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1+

1

22

+…+

1

2n

=1+

1 22 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=1+

1

2

-(

1

2

)n+1＜

3

2

成立．
∴ln（1+

1

a1

）+ln（1+

1

a2

）+…+ln（1+

1

an

）＜

3

2

．

点评：本题考查利用导数研究函数单调性，数列递推关系、放缩法、分析法等知识；同时考查学生的化归与转化能力能力、探索数学交汇问题的解决策略；考查数学建模思想，函数、方程思想的综合应用．