【题目】对于三个实数、、,若成立,则称、具有“性质”.
(1)试问:①,0是否具有“性质2”;
②(),0是否具有“性质4”;
(2)若存在及,使得成立,且
,1具有“性质2”,求实数的取值范围;
(3)设,,,为2019个互不相同的实数,点()
均不在函数的图象上,是否存在,且,使得、
具有“性质2018”,请说明理由.
【答案】(1)①具有“性质2”,②不具有“性质4”;(2);(3)存在.
【解析】
(1)①根据题意需要判断的真假即可② 根据题意判断是否成立即可得出结论;(2)根据具有性质2可求出的范围,由存在性问题成立转化为 ,根据函数的性质求最值即可求解.
(1)①因为,成立,
所以,故,0具有“性质2”
②因为,设,则
设,
对称轴为,
所以函数在上单调递减,当时,,
所以当时,不恒成立,
即不成立,
故(),0不具有“性质4”.
(2)因为,1具有“性质2”
所以
化简得
解得或 .
因为存在及,使得成立,
所以存在 及使 即可.
令,则,
当时,,
所以在上是增函数,
所以时,,当时,,
故时,
因为在上单调递减,在 上单调递增,
所以,
故只需满足即可,解得.
(3)假设具有“性质2018”,则,
即证明在任意2019个互不相同的实数中,一定存在两个实数,满足:
.
证明:
由,
令,由万能公式知,
将等分成2018个小区间,则这2019个数必然有两个数落在同一个区间,令其为:,即,
也就是说,在,,,这2019个数中,一定有两个数满足,
即一定存在两个实数,满足,
从而得证.
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【题目】已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N+),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1 , S11=11b4 .
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和(n∈N+).
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【题目】已知函数f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx(x∈R).
(Ⅰ)求f( )的值.
(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
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【题目】盒中装有个零件,其中个是使用过的,另外个未经使用.
(1)从盒中每次随机抽取个零件,每次观察后都将零件放回盒中,求次抽取中恰有次抽到使用过的零件的概率;
(2)从盒中随机抽取个零件,使用后放回盒中,记此时盒中使用过的零件个数为,求的分布列和数学期望.
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【题目】如图,多面体中, 两两垂直,且, , ,
.
(Ⅰ) 若点在线段上,且,求证: 平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成的角的正弦值;
(Ⅲ)求锐二面角的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0 , 且e﹣2<f(x0)<2﹣2 .
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【题目】海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如下表所示,工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件进行检测.
地区 | |||
数量 | 50 | 150 | 100 |
(1)求这6件样品中来自各地区商品的数量;
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.
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