【题目】如图,多面体中,
两两垂直,且
,
,
,
.
(Ⅰ) 若点在线段
上,且
,求证:
平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成的角的正弦值;
(Ⅲ)求锐二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)分别取的中点
,连接
,由已知条件推导出四边形
是平行四边形,从而得到
,即可证明
平面
;(Ⅱ)以
点为原点,分别以
所在直线为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系
,利用法向量即可求出直线
与平面
所成的角的正弦值;(Ⅲ)分别求出平面
的法向量和平面
的法向量,利用向量法即可求出二面角
的余弦值.
试题解析:(Ⅰ)分别取的中点
,连接
,则有
,
.
∵,∴
,又∵
,∴
,
∴四边形是平行四边形, ∴
,
又∵平面
,
平面
,∴
平面
;
(Ⅱ)如图,以点为原点,分别以
所在直线为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系
.则
,
,
,
,
设平面的一个法向量
,则有
,化简,得
,
令,得
,
设直线与平面
所成的角为
,则有
,
∴直线与平面
所成的角的正弦值为
;
(Ⅲ)由已知平面的法向量
,
,
设平面的一个法向量
,则有
∴,∴
,令
,则
,
设锐二面角的平面角为
,
则
,
∴锐二面角的余弦值为
.
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【题目】已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形,如图所示,则( )
A.以上四个图形都是正确的
B.只有(2)(4)是正确的
C.只有(4)是错误的
D.只有(1)(2)是正确的
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,曲线的极坐标方程为
,以极点为原点,极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线
的参数方程为
(
为参数).
(1)写出曲线的参数方程和直线
的普通方程;
(2)已知点是曲线
上一点,求点
到直线
的最小距离.
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【题目】已知双曲线C: (a>0,b>0)过点A(1,0),且离心率为
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.
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【题目】在极坐标系中,曲线,曲线
.以极点为坐标原点,极轴为
轴正半轴建立平面直角坐标系
,曲线
的参数方程为
(
为参数).
(1)求的直角坐标方程;
(2)与
交于不同的四点,这四点在
上排列顺次为
,求
的值.
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【题目】已知正项数列{an},{bn}满足a1=3,a2=6,{bn}是等差数列,且对任意正整数n,都有 成等比数列.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)设 ,试比较2Sn与
的大小.
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【题目】在△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在的直线方程为y=0.若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.
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