Question

【题目】已知正项数列{an}，{bn}满足a1=3，a2=6，{bn}是等差数列，且对任意正整数n，都有 成等比数列．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设 ，试比较2Sn与 的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵正项数列{an}，{bn}满足对任意正整数n，都有 成等比数列，

∴an=bnbn+1，

∵a1=3，a2=6，∴b1b2=3，b2b3=6

∵{bn}是等差数列，∴b1+b3=2b2，∴b1= ，b2=

∴bn= ；

（2）解：an=bnbn+1= ，则 =2（ ）

∴Sn=2[（ ）+（ ）+…+（ ）]=1﹣

∴2Sn=2﹣

∵ =2﹣

∴2Sn﹣（ ）=

∴当n=1，2时，2Sn＜ ；当n≥3时，2Sn＞

【解析】（1）利用正项数列{an}，{bn}满足对任意正整数n，都有 成等比数列，可得an=bnbn+1 ， 结合{bn}是等差数列，可求数列的公差，从而可求数列{bn}的通项公式；（2）确定数列{an}的通项，利用裂项法求和，再作出比较，可得结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等差数列的通项公式（及其变式）(通项公式：或)，还要掌握等比数列的通项公式（及其变式）(通项公式：)的相关知识才是答题的关键．