Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，若，使得成立，求实数a的取值范围；

（3）若方程有两个不相等的实数根，求证：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）对函数进行求导，根据的取值不同进行分类讨论函数的单调区间；

（2）根据（1）中的单调性求出在上的最小值，再对进行求导，根据单调性求出在上的最大值，计算的值，然后分类讨论，结合已知以及绝对值的意义进行求解即可；

（3）要证，由（1）知由得；

只要证明即可，根据方程根的性质，求出的表达式，构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可.

（1）（）

当时，，函数在上单调递增；

当时，由得；

由得，函数在上递增，在上递减

（2）当时，，

令得（舍去），

当时，，

①当时，则显然成立，即

②当时，则，即，

综上.

（3）要证，由（1）知由得；

只要证明即可

∵是方程的两个不等实根，不妨设

∴，

∴，

即，∴

即证

即证，

设

令，

则在上单调递增，恒成立，得证.