Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=15，a₂=$\frac{43}{3}$，且2a_n+1=a_n+a_n+2．若a_k•a_k+1＜0，则正整数k=（　　）

• A． 21
• B． 22
• C． 23
• D． 24

Answer 1

分析 由已知数列递推式可知，数列{a_n}是以15为首项，以$-\frac{2}{3}$为公差的等差数列，求得等差数列的通项公式，得到数列前23项大于0，自第24项起小于0，则答案可求．

解答 解：由2a_n+1=a_n+a_n+2，得a_n+1-a_n=a_n+2-a_n+1，
又a₁=15，a₂=$\frac{43}{3}$，∴${a}_{2}-{a}_{1}=\frac{43}{3}-15=-\frac{2}{3}$，
则数列{a_n}是以15为首项，以$-\frac{2}{3}$为公差的等差数列，
∴${a}_{n}=15-\frac{2}{3}（n-1）=\frac{47}{3}-\frac{2}{3}n$．
由a_n＞0，得$\frac{47}{3}-\frac{2}{3}n＞0$，得n$＜\frac{47}{2}$，
∵n∈N^*，∴n≤23．
则使a_k•a_k+1＜0的正整数k=23．
故选：C．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是中档题．