Question

设函数f（x）=x³-3x+5（x∈R），若关于x的方程f（x）=a有三个不同实根，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：令g（x）=f（x）-a=x³-3x+5-a，然后对函数求导，求出极值点，判定函数的单调性，要至少有两个不同实根，则g（-1）≥0且g（1）≤0，解之即可求出a的范围．

解答： 解：令g（x）=f（x）-a=x³-3x+5-a，
则g′（x）=3x²-3，
令g′（x）=0，
解得：x=-1，或x=1．
当x＜-1或x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，
当-1＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，
要使关于x的方程f（x）=a有三个不同实根，则g（-1）=-1+3+5-a＞0且g（1）=1-3+5-a＜0．
解得3＜a＜7，
故答案为：（3，7）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数与方程的思想，属于中档题．