Question

已知关于x的方程|x-k|=

2

2

k

x

在区间[k-1，k+1]上有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：将方程转化为两个函数f（x）=|x-k|，g（x）=

k 2

2

•

x

，根据绝对值函数和根式函数的图象和性质，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：由方程可知k≥0，
设f（x）=|x-k|，g（x）=

k 2

2

•

x

，
则函数f（x）在[k-1，k]上单调递减，在[k，k+1]上递增，g（x）在区间[k-1，k+1]上单调递增，
要使关于x的方程|x-k|=

2

2

k

x

在区间[k-1，k+1]上有两个不相等的实根，
即函数f（x）与g（x）在区间[k-1，k+1]上有两个交点，
由图象可知，

f(k-1)≥g(k-1) f(k+1)≥g(k+1)

，
即

|k-1-k|=1≥ 2 2 •k• k-1 |k+1-k|=1≥ 2 2 •k• k+1

，
则只需要

2

2

•k•

k+1

≤1成立即可，此时0≤k≤1，
当k=0时，不等式等价为|x|=0，在区间[-1，1]上只有一个交点，不满足条件，
故0＜k≤1．
故答案为：0＜k≤1．

点评：本题主要考查方程根的应用，利用方程和函数之间的关系转化为两个函数图象之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．