Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-（a+m）x+alnx，且f′（1）=0，其中a、m∈R．
（1）求m的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

（1）由题设知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x-（a+m）+

a

x

…（2分）
由f′（1）=0得1-（a+m）+a=0，解得m=1．…（4分）
（2）由（1）得f′（x）=x-（a+1）+

a

x

=

x2-(a+1)+a

x

=

(x-a)(x-1)

x

…（6分）
当a＞1时，由f′（x）＞0得x＞a或0＜x＜1，
此时f（x）的单调增区间为（a，+∞）和（0，1）…（9分）
当a=1时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）．…（11分）
当0＜a＜1时，由f′（x）＞0得x＞1或0＜x＜a，
此时f（x）的单调增区间为（1，+∞）和（0，a）．…（14分）
当a≤0时，由f′（x）＞0得x＞1，此时f（x）的单调增区间为（1，+∞）．
综上，当a＞1时，f（x）的单调增区间为（a，+∞）和（0，1）；当a=1时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间为（1，+∞）和（0，a）；当a≤0时，f（x）的单调增区间为（1，+∞）．…（16分）