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如图所示,n台机器人M1,M2,……,Mn位于一条直线上,检测台M在线段M1 Mn上,n台机器人需把各自生产的零件送交M处进行检测,送检程序设定:当Mi把零件送达M处时,Mi+1即刻自动出发送检(i=1,2,……,n-1)已知Mi的送检速度为V(V>0), 且,n台机器人送检时间总和为f(x).

 
(1)求f(x)的表达式;
(2)当n=3时,求x的值使得f(x)取得最小值;
(3)求f(x)取得最小值时,x的取值范围.

(1)f(x)= ;(2)x=1;(3)n为偶数时x∈[,];n为奇数时

解析试题分析:(1)先求出n台机器人送检的路程总和,再除以送检速度v即为n台机器人送检时间总和f(x);而,则,从而可得f(x)的表达式;(2)当n=3时,f(x)是一个含有绝对值符号的函数,只须采用零点分段讨论法,去掉绝对值符号,转化为一个分段函数,结合函数图就可求得使f(x)取得最小值对应的x的值;(3)由(1)知f(x)是一个含有多个绝对值符号的函数,再由(2)的经验,须去掉绝对值符号,所以我们只须设i≤x≤i+1,(0≤i<n-2, i∈Ζ),就可去掉所有的绝对值符号,从而转化为一个一次函数,其单调性由x系数的正负来确定,讨论x系数的正负,并结合n的奇偶性就可求出f(x)取得最小值时,x的取值范围.
试题解析:(1)以M1为坐标原点,M1,M2 ,Mn所在直线为x轴建立数轴,则Mi的坐标为i-1,M的坐标为x.
f(x)=     3分
(2)n=3时,V f(x)=
 f(x)在x=1处取得最小值
(3)当i≤x≤i+1,(0≤i<n-2, i∈Ζ)时,

=x+(x-1)+  +(x-i)-(x-(i+1))-  -(x-(n-1))
="[(" i+1)x-(1+2+  + i)]-[n-( i+1)·x-( i+1+ i+2+  +(n-1) ]
="-[n-2" (i+1) ]·x-
当0≤i<时,f(x)单调递减:当时,f(x)单调递增
, f(x)为常函数,又f(x)图象是一条连续不断的图象,所以
①n为偶数时,f(x)在(0,)内单调递减,在()为常函数,在(,n-1)单调递增,所以当x∈[,]时f(x)取得最小值.
②n为奇数时,内单调递减,(表示的整数部分),在   内单调递增,所以当取得最小值    (13分)
考点:1.函数的应用;2.分类讨论.

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