Question

在三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1，OA=x，OB=y，x+y=4，当三棱锥O-ABC的体积最大时，异面直线AB与OC的距离等于

2

．

Answer 1

分析：V=

1

3

S△ABC•OC=

1

3

•

1

2

xy≤

1

6

•(

x+y

2

)2=

2

3

，当且仅当x=y=2（因为x+y=4）时，V取最大值．由此能够推导出OE就是异面直线OC与AB的公垂线，由此能求出异面直线AB与OC的距离．

解答：解：V=

1

3

S△ABC•OC=

1

3

•

1

2

xy≤

1

6

•(

x+y

2

)2=

2

3

，
当且仅当x=y=2（因为x+y=4）时，
V取最大值．
取AB的中点E，连接OE，
则OE⊥AB，且OE=

1

2

AB=

2

，
又因为OC⊥面OAB
∴OC⊥OE，
所以OE就是异面直线OC与AB的公垂线，
其长为

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查空间异面直线AB与OC的距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．