Question

已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x²-10x的一个极值点.

（Ⅰ）求a;

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围.

Answer 1

解：（Ⅰ）因为f′(x)＝

所以f′(3)=

因为a=16.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知，

f (x)＝16ln(1+x)+x²-10x,x∈(-1,+∞)，

f′(x)＝

当x∈（-1，1）∪(3,+∞)时，f′(x)＞0.

当x∈（1，3）时，f′(x)＜0.

所以f (x)的单调增区间是（-1，1），（3，+∞），

f(x)的单调减区间是（1，3），

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f(x)在（-1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0，

所以f (x)的极大值为f (1)＝16ln2-9，极小值为f（3）＝32ln2-21.

因为f（16）＞16²-10×16>16ln2-9＝f（1）.

f（e^-2-1）＜-32+11＝-21＜f（3），

所以在f(x)的三个单调区间（-1，1），（1，3），（3，+∞）直线y＝b与y=f(x)的图像各有一个交点，当且仅当f（3）＜b＜f(1).

因此，b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9）.