Question

6．设y=（log₂x）²+（t-2）log₂x-t+1，若t∈[-2，2]时，y恒为正，求x的范围．

Answer 1

分析 设y=f（t）=（log₂x-1）t+（log₂x）²-2log₂x+1，则f（t）是一次函数，当t∈[-2，2]时，f（t）＞0恒成立，则有$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＞0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，由此能求出x的取值范围．

解答 解：设y=f（t）=（log₂x-1）t+（log₂x）²-2log₂x+1，
则f（t）是一次函数，当t∈[-2，2]时，
f（t）＞0恒成立，则有$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＞0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（lo{g}_{2}x）^{2}-4lo{g}_{2}x+3＞0}\\{（lo{g}_{2}x）^{2}-1＞0}\end{array}\right.$，
解得log₂x＜-1或log₂x＞3．
∴0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞8，
∴x的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）∪（8，+∞）．

点评 本题考查函数中自变量的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用．