Question

3．在如图所示的多面体ABCDE中，AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，$BC=\sqrt{5}$，F是CD的中点．
（Ⅰ）求证AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，证明ABPF为平行四边形，可得AF∥BP，利用线面平行的判定，可以证明AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求出直角梯形ABED的面积和C到平面ABDE的距离，则多面体ABCDE的体积可求．

解答 （Ⅰ）证明：取CE中点P，连接FP、BP，
∵F为CD的中点，
∴FP∥DE，且FP=$\frac{1}{2}$DE．
又AB∥DE，且AB=$\frac{1}{2}$DE．
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE；
（II）解：∵直角梯形ABED的面积为$\frac{1+2}{2}×2$=3，C到平面ABDE的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}×2=\sqrt{3}$，
∴四棱锥C-ABDE的体积为$V=\frac{1}{3}×3×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．
即多面体ABCDE的体积为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查线面平行，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．