Question

（本小题满分14分）给定数列．对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，．

（Ⅰ）设数列为，写出,,的值；

（Ⅱ）设（）是公比大于的等比数列，且．证明：是等比数列；

（Ⅲ）设是公差大于的等差数列，且．证明：是等差数列．

Answer 1

d2= 1，d3=3，d4=3

【解析】

试题分析：（Ⅰ）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d1=A1-B1=2-1=1，

d2=A2-B2=2-1=1，d3=A3-B3=4-1=3，d4=A4-B4=4-1=3．

（Ⅱ）充分性：设d是非负整数，若{an}是公差为d的等差数列，则an=a1+（n-1）d，

∴An=an=a1+（n-1）d，Bn=an+1=a1+nd，∴dn=An-Bn=-d，（n=1，2，3，4…）．

必要性：若 dn=An-Bn=-d，（n=1，2，3，4…）．假设ak是第一个使ak-ak-1＜0的项，

则dk=Ak-Bk=ak-1-Bk≥ak-1-ak＞0，这与dn=-d≤0相矛盾，故{an}是一个不减的数列．

∴dn=An-Bn=an-an+1=-d，即 an+1-an=d，故{an}是公差为d的等差数列．

（Ⅲ）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项不能等于零，否则d1=2-0=2，矛盾．

而且还能得到{an}的项不能超过2，用反证法证明如下：

假设{an}的项中，有超过2的，设am是第一个大于2的项，则dm=Am-Bm=am-1＞1，

这与已知dn=1相矛盾，故假设不对，

即{an}的项不能超过2，故{an}的项只能是1或者2．

下面用反证法证明{an}的项中，有无穷多项为1．

若ak是最后一个1，则ak是后边的各项的最小值都等于2，故dk=Ak-Bk=2-2=0，矛盾，

故{an}的项中，有无穷多项为1．

综上可得，{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．

考点：本题考查数列最值，等差数列和等比数列，推理论证能力，数据处理能力