Question

19．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD边长为4的正方形，PA=PD=2$\sqrt{2}$，平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）点E为线段PD上一点，且三棱锥E-BCD的体积为$\frac{8}{3}$，求平面EBC与平面PAB所成锐二面角的余弦值的大小．

Answer 1

分析 （I）利用面面垂直的性质得出CD⊥平面PAD，故而平面PAD⊥平面PCD；
（II）利用体积公式计算E到平面ABCD的距离得出E点位置，建立坐标系求出两平面的法向量，从而可求出二面角的大小．

解答 （I）证明：∵面ABCD边长为4的正方形，∴CD⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD，
又CD?平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
（II）取AB的中点O，连结OP，
∵PA=PD=2$\sqrt{2}$，AD=4，
∴OP⊥AD，OP=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP?平面PAD，
∴OP⊥平面ABCD，
设E到平面ABCD的距离为h，
则V=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{4}^{2}×h$=$\frac{8}{3}$．解得h=h，
∴E为PB的中点．
以O为原点，以OB为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
∴B（4，-2，0），C（4，2，0），P（0，0，2），D（0，2，0），E（0，1，1），
∴$\overrightarrow{BC}$=（0，4，0），$\overrightarrow{BE}$=（-4，3，1），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-2），
设平面EBC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4y=0}\\{-4x+3y+z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{m}$=（1，0，4）．
∵PA=PD=2$\sqrt{2}$，AD=4，
∴PA⊥PD，
由（I）知CD⊥平面PAD，PD?平面PAD，
∴CD⊥PD，又CD∥AB，
∴AB⊥PD，
又AB?PAB，PA?平面PAB，PA∩AB=A，
∴PD⊥平面PAB，
∴$\overrightarrow{PD}$是平面PAB的法向量，
∵cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{PD}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{PD}|}$=$\frac{-8}{2\sqrt{2}×\sqrt{17}}$=-$\frac{2\sqrt{34}}{17}$．
∴平面EBC与平面PAB所成锐二面角的余弦值为|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{PD}$＞|=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$．

点评 本题考查了面面垂直的性质与判定，线面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．