【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)证明当时,关于
的不等式
恒成立;
(Ⅲ)若正实数满足
,证明
.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)见解析
【解析】试题分析:(1)求导函数,从而可确定函数的单调性;(2)构造函数,利用导数研究其最值,将恒成立问题进行转化;(3)将代数式
放缩,构造关于
的一元二次不等式,解不等式即可.
试题解析:(Ⅰ)
,
由,得
,
又,所以
.
所以的单调减区间为
,函数
的增区间是
.
(Ⅱ)令
,
所以
.
因为,
所以.
令,得
.
所以当,
;
当时,
.
因此函数在
是增函数,在
是减函数.
故函数的最大值为
.
令,因为
,
又因为在
是减函数.
所以当时,
,
即对于任意正数总有
.
所以关于的不等式
恒成立.
(Ⅲ)由,
即
,
从而
.
令,则由
得,
.
可知,在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.
所以,
所以,
又,
因此成立.
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【题目】袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是 ,从B中摸出一个红球的概率为p.
(1)从A中又放回的摸球,每次摸出一个,共摸5次 ①恰好有3次摸到红球的概率;
②第一次、第三次、第五次摸到红球的概率.
(2)若A、B两个袋子中的球之比为12,将A、B中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是 ,求p的值.
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.
(1)若a=2 ,A=
,且△ABC的面积S=2
,求b,c的值;
(2)若sin(C﹣B)=sin2B﹣sinA,试判断△ABC的形状.
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【题目】已知椭圆过点
,椭圆
的左焦点为
,右焦点为
,点
是椭圆
上位于
轴上方的动点,且
,直线
与直线
分别交于
两点.
(1)求椭圆的方程及线段
的长度的最小值;
(2)是椭圆
上一点,当线段
的长度取得最小值时,求
的面积的最大值.
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【题目】质检部门从企业生产的产品中抽取100件,测量这些产品的质量指标值,由测量结果得到如图的频率分布直方图,质量指标值落在区间,
,
内的频率之比为
.
(Ⅰ)求这些产品质量指标值落在区间内的频率;
(Ⅱ)若将频率视为概率,从该企业生产的这种产品中随机抽取3件,记这3件产品中质量指标值位于区间内的产品件数为
,求
的分布列与数学期望.
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【题目】已知函数f(x)满足f(x﹣1)=﹣f(﹣x+1),且当x≤0时,f(x)=x3 , 若对任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2 f(x)恒成立,则实数t的取值范围是 .
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【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=1﹣nan(n∈N*)
(1)计算a1 , a2 , a3 , a4;
(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.
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