Question

14．曲线y=a$\sqrt{x}$（a＞0）与曲线y=ln$\sqrt{x}$有公共点，且在公共点处的切线相同，则a的值为（　　）

• A． e
• B． e²
• C． $\frac{1}{{e}^{2}}$
• D． $\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 设出公共点的坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义建立方程关系进行求解即可．

解答 解：y=ln$\sqrt{x}$=$\frac{1}{2}$lnx，
设公共点的坐标为（m，$\frac{1}{2}$lnm），
则函数y=f（x）=a$\sqrt{x}$（a＞0）的导数f′（x）=$\frac{a}{2\sqrt{x}}$，曲线y=g（x）=$\frac{1}{2}$lnx的导数g′（x）=$\frac{1}{2x}$，
则f′（m）=$\frac{a}{2\sqrt{m}}$，g′（m）=$\frac{1}{2m}$，
则由f′（m）=g′（m），得$\frac{a}{2\sqrt{m}}$=$\frac{1}{2m}$，（m＞0），
则a=$\frac{1}{\sqrt{m}}$，
又a$\sqrt{m}$=ln$\sqrt{m}$，
即ln$\sqrt{m}$=1，得$\sqrt{m}$=e，则a=$\frac{1}{\sqrt{m}}$=$\frac{1}{e}$，
故选：D．

点评 本题主要考查导数的几何意义，求函数的导数，建立方程关系是解决本题的关键．