Question

如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点。（1）求直线AD与平面PBC的距离。
（2）若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。

Answer 1

见解析

（1）如图（1），在矩形ABCD中，AD∥BC，从而AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的
距离为点A到平面PBC的距离（2分）。因为PA⊥AB，由PA=AB知  PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD内和射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥PAB（4分）。故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，故AE的长即为直线AD与平面PBC的距离，在RtPAB中，PA=AB=，所以。……………………………………6`
（2）过点D作DF⊥CE，交CE于F，过点F作FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角。……………………………………………8`
由（1）知BC⊥平面PAB，又AD⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而DE=。
在RtCBE中，.由CD=，知CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且
因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE。又FG⊥CE，知从而，且G点为AC的中点，连接DG，则在中，…………………………………………10`
所以 
所以二面角A-EC-D的平面角的余弦值为。…………………………12`
解法2：（1）如图（2），以A为坐标原点，
射线AB、AD、AP分别为轴、轴、轴
正半轴，建立空间直角坐标系A-。
设………2`
因此，，
则所以AE⊥平面PBC。………4`
又由AD∥BC加AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为………6`
（2）因为
设平面AEC的法向量
又
所以…………8`
设平面DEC的法向量
则
又故
所以……………………10`
故…………12`
所以三角形A-EC-D的平面角的余弦值为。