Question

已知函数f（x）=|2^x-2|，若m≠n，且f（m）=f（n），则m+n的取值范围是（　　）

• A、（1，+∞）
• B、（2，+∞）
• C、（-∞，1）
• D、（-∞，2）

Answer 1

考点：指数函数的图像变换

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由题意f（x）=|2^x-2|，由f（m）=f（n），可得2-2^m=2ⁿ-2，故2^m+2ⁿ=4，
再利用基本不等式求解．

解答： 解：不妨设m＜n，
由f（m）=f（n），可得2-2^m=2ⁿ-2，
∴2^m+2ⁿ=4，
∴4=2^m+2ⁿ=≥2

2m+n

，
当且仅当2^m=2ⁿ时，即m=n时取等号，而m≠n，故上述等号不成立，
∴2^m+n＜4，
∴m+n＜2
∴m+n的取值范围是（-∞，2）
故选：D．

点评：此题考查了利用绝对值的性质脱去绝对值，同时考查基本不等式的应用，注意，利用基本不等式要验证等号成立的条件．