Question

设有一个容积V一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，当总造价最少时，桶高为（　　）

• A、

  1

  2

  3	2V π

• B、

  1

  2

  3	V 2π

• C、2

  3	2V π

• D、2

  3	V 2π

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：计算题,应用题,导数的综合应用

分析：设圆柱形铁桶的底面半径为r，则其高为

V

πr2

；记单位面积铁的价格为a，故其总造价y=a（2πr•

V

πr2

+πr²）+3aπr²=a（

2V

r

+4πr²），从而求导确定函数的单调性，从而求最小值及最小值点，从而求其高即可．

解答： 解：设圆柱形铁桶的底面半径为r，则其高为

V

πr2

；
记单位面积铁的价格为a，
故其总造价y=a（2πr•

V

πr2

+πr²）+3aπr²
=a（

2V

r

+4πr²），
y′=a（-

2V

r2

+8πr）=a

8πr3-2V

r2

；
故当r∈（0，

3	V 4π

）时，y′＜0，
当r∈（

3	V 4π

，+∞）时，y′＞0；
故y=a（

2V

r

+4πr²）在（0，

3	V 4π

）上是减函数，
在（

3	V 4π

，+∞）上是增函数；
故当r=

3	V 4π

，即其高为

V

π( 3 V 4π )2

=2

3	2V π

；
故选C．

点评：本题考查了导数在实际问题中的应用，同时考查了几何体的表面积的求法，属于中档题．