Question

已知实数x、y满足4x²+y²-xy=1，且不等式2x+y+c＞0恒成立，则c的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：由4x²+y²-xy=1，得出2x+y=±

1+5xy

，再根据不等式2x+y+c＞0恒成立，得出c＞-（2x+y）=

1+5xy

；
利用基本不等式4x²+y²≥2•2x•y，求出xy≤

1

3

，代入上式，求出c的取值范围．

解答： 解：∵4x²+y²-xy=1，
∴（2x+y）²=1+5xy，
∴2x+y=±

1+5xy

；
又∵不等式2x+y+c＞0恒成立，
∴2x+y＞-c；
令-

1+5xy

＞-c，
得c＞

1+5xy

；
又∵4x²+y²≥2•2x•y=4xy，当且仅当2x=y时“=”成立，
∴4xy-xy≤1，
即xy≤

1

3

；
∴c＞

1+5xy

≥

1+5× 1 3

=

2 6

3

；
∴c的取值范围是（

2 6

3

，+∞）．
故答案为：（

2 6

3

，+∞）．

点评：本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．