Question

已知a₁=1，a_n=

an-1

3an-1+1

（n≥2），则a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列的递推关系，利用取倒数法，结合等差数列的通项公式进行求解即可．

解答： 解：∵a₁=1，a_n=

an-1

3an-1+1

，
∴两边取倒数得

1

an

=

3an-1+1

an-1

=

1

an-1

+3，
即

1

an

-

1

an-1

=3，
则数列{

1

an

}是公差d=3的等差数列，首项为

1

a1

=1，
即

1

an

=1+3（n-1）=3n-2，
故a_n=

1

3n-2

．
故答案为：

1

3n-2

点评：本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列的递推关系，利用取倒数法，结合等差数列的通项公式是解决本题的关键．