Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

3an

an+3

（1）数列{

1

an

}是否为等差数列？说明理由；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据数列的递推关系，利用取倒数法，结合等差数列的定义进行证明．
（2）根据等差数列的定义和通项公式即可求出数列{a_n}通项公式．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=

3an

an+3

，
∴两边取倒数得

1

an+1

=

an+3

3an

=

1

an

+

1

3

，
即

1

an+1

-

1

an

=

1

3

，
则数列{

1

an

}是公差d=

1

3

的等差数列，首项为

1

a1

=1．
（2）∵数列{

1

an

}是公差d=

1

3

的等差数列，首项为

1

a1

=1．
∴

1

an

=1+

1

3

（n-1）=

n+2

3

，
故a_n=

3

n+2

．

点评：本题主要考查数列的通项公式的求解，根据数列的递推关系，利用取倒数法，结合等差数列的通项公式是解决本题的关键．