Question

已知z₁=

3

sinx+isinx，z₂=cosx+isinx（i是虚数单位）．
（1）当x∈[0，π]且|z₁|=|z₂|时，求x的值；
（2）设f（x）=z₁•

.

z2

+

.

z1

•z₂，求f（x）的最大值与最小值及相应的x值．

Answer 1

考点：复数代数形式的乘除运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,数系的扩充和复数

分析：（1）利用复数模的计算公式可得

( 3 sinx)2+(sinx)2

=

cos2x+sin2x

，化为4sin²x=1，再利用x∈[0，π]，即可解出；
（2）利用复数共轭复数的定义、复数的运算法则、倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=z₁•

.

z2

+

.

z1

•z₂=2sin(2x-

π

6

)+1，再利用正弦函数的图象与性质即可得出最值．

解答： 解：（1）∵|z₁|=|z₂|，
∴

( 3 sinx)2+(sinx)2

=

cos2x+sin2x

，化为4sin²x=1，
∵x∈[0，π]，
∴sinx≥0，∴sinx=

1

2

，
解得x=

π

6

或

5π

6

．
（2）f（x）=z₁•

.

z2

+

.

z1

•z₂=(

3

sinx+isinx)（cosx-isinx）+(

3

sinx-isinx)（cosx+isinx）
=2

3

sinxcosx+2sin2x
=

3

sin2x+1-cos2x
=2sin(2x-

π

6

)+1，
当2x-

π

6

=2kπ+

π

2

时，即x=kπ+

π

3

（k∈Z）时，f（x）_max=3．
当2x-

π

6

=2kπ-

π

2

时，即x=kπ-

π

6

（k∈Z）时，f（x）_min=-1．

点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算公式、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．