Question

将y=lnx绕原点O旋转角θ，第一次与y轴相切，求sin2θ．

Answer 1

考点：二倍角的正弦,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：设y=lnx的图象的切线的斜率为k，切点坐标为（x₀，y₀），由题意可得 k=

lnx0

x0

=

1

x0

，求得x₀=e．再由tanθ=

sinθ

cosθ

=

1

k

=x₀=e，根据万能公式即可得出结论．

解答： 解：设y=f（x）=lnx的图象的切线的斜率为k，
设切点坐标为（x₀，y₀），
则由题意可得，切线的斜率为：k=

y0

x0

=

lnx0

x0

，再由导数的几何意义可得 k=f′（x₀）=

1

x0

，
∴

lnx0

x0

=

1

x0

，
∴x₀=e．
再由θ的意义可得，lnx的图象的切线逆时针旋转角θ后落在了y轴上，
故有tanθ=

sinθ

cosθ

=

1

k

=x₀=e，
∴sin2θ=

2tanθ

1+tan2θ

=

2e

1+e2

．

点评：本题主要考查函数的导数的意义及其应用，直线的斜率公式，函数图象的变化，考查了同角三角函数关系式，万能公式的应用，属于基本知识的考查．