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    如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）
    （1）按下列要求建立函数关系式：
    （i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；
    （ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；
    （2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？
    考点：函数模型的选择与应用
    专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,导数的综合应用
    分析：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，OM=3.5．
    （i）在Rt△ONF中与矩形EFGH中表示出边长，从而由S=EF×FG写出面积公式S=10sinθ（20cosθ-7），注意角θ的取值范围；
    （ii）在Rt△ONF中与矩形EFGH中利用勾股定理等表示出边长，从而写出S=EF×FG=x
    		351-28x-4x2
    ，注意x的取值范围；
    （2）方法一：选择（i）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点，再代入求NM的长度即可；
    方法二：选择（ii）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点即可．
    解答： 解：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5．
    （i）在Rt△ONF中，NF=OFsinθ=10sinθ，ON=OFcosθ=10cosθ．
    在矩形EFGH中，EF=2MF=20sinθ，FG=ON-OM=10cosθ-3.5，
    故S=EF×FG=20sinθ（10cosθ-3.5）=10sinθ（20cosθ-7）．
    即所求函数关系是S=10sinθ（20cosθ-7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0=
    7
    20
    ．
    （ii）因为MN=x，OM=3.5，所以ON=x+3.5．
    在Rt△ONF中，NF=
    		OF2-ON2
    =
    		100-(x+3.5)2
    =
    351
    4
    -7x-x2
    ．
    在矩形EFGH中，EF=2NF=
    		351-28x-4x2
    ，FG=MN=x，
    故S=EF×FG=x
    		351-28x-4x2
    ．
    即所求函数关系是S=x
    		351-28x-4x2
    ，（0＜x＜6.5）．   
    （2）方法一：选择（i）中的函数模型：
    令f（θ）=sinθ（20cosθ-7），
    则f′（θ）=cosθ（20cosθ-7）+sinθ（-20sinθ）=40cos2θ-7cosθ-20．
    由f′（θ）=40cos2θ-7cosθ-20=0，解得cosθ=
    4
    5
    ，或cosθ=-
    5
    8
    ．
    因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ=
    4
    5
    ．
    设cosα=
    4
    5
    ，且α为锐角，
    则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，
    所以当θ=α，即cosθ=
    4
    5
    时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．
    即MN=10cosθ-3.5=4.5m时，通风窗的面积最大．
    方法二：选择（ii）中的函数模型：
    因为S=
    		x2(351-28x-4x2)
    ，
    令f（x）=x2（351-28x-4x2），
    则f′（x）=-2x（2x-9）（4x+39），
    因为当0＜x＜
    9
    2
    时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
    当
    9
    2
    ＜x＜
    13
    2
    时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
    所以当x=
    9
    2
    时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．
    即MN=x=4.5m时，通风窗的面积最大．
    点评：本题考查了导数在实际问题中的应用及三角函数的应用，属于中档题．
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    总计
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    ．

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    		3
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    .
    z2
    +
    .
    z1
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    1
    4
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    		6
    ，AC=2
    		3
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    ．

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    π
    4
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    π
    2
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    π
    2
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    π
    8
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    π
    8
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