已知△ABC的三边长分别为AB＝5，BC＝4，AC＝3，M是AB边上的高，P是平面ABC外一点．给出下列四个命题：
①若PA⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC的四个面都是直角三角形；
②若PM⊥平面ABC，且M是AB边的中点，则有PA＝PB＝PC；
③若PC＝5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为
；
④若PC＝5，P在平面ABC上的射影是△ABC的内切圆的圆心，则点P到平面ABC的距离为
.
其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)
①②④
[解析]
对于①，如图，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故四个面都是直角三角形；
对于②，连接CM，当PM⊥平面ABC时，PA2＝PM2＋MA2，
PB2＝PM2＋BM2，PC2＝PM2＋CM2，
因为M是Rt△ABC斜边AB的中点，所以BM＝AM＝CM，
故PA＝PB＝PC；
对于③，当PC⊥平面ABC时，
S△PCM＝
PC·CM＝×5×CM.
CM⊥AB时，CM取得最小值，长度为
，
所以S△PCM的最小值是×5×＝6；
对于④，设△ABC内切圆的圆心是O，则PO⊥平面ABC，连接OC，则有PO2＋OC2＝PC2，
又内切圆半径r＝(3＋4－5)＝1，所以OC＝
，PO2＝PC2－OC2＝25－2＝23，故PO＝.
综上，正确的命题有①②④.
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设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β( )
A．不存在 B．有且只有一对
C．有且只有两对 D．有无数对
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(2013·徐州模拟)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
[
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如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB.
(1)求证：平面AMB∥平面DNC；
(2)若MC⊥CB，求证BC⊥AC.
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四棱锥A－BCDE的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形．
(1)若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BF丄CM，请说明理由；
(2)若AB＝AC，平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°，求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．
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已知a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中：
①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥γ；
②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；
③若α⊥β，α∩β＝a，bβ，a⊥b，则b⊥α；
④若aα，bα，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.其中正确命题的序号是( )
A．①②③ B．①③
C．②③ D．①②③④
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PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是( )
①面PAB⊥面PBC ②面PAB⊥面PAD
③面PAB⊥面PCD ④面PAB⊥面PAC
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
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