Question

四棱锥A－BCDE的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形．

(1)若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BF丄CM，请说明理由；

(2)若AB＝AC，平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°，求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

[解析]　(1)总有BF⊥CM，理由如下：

法一：取BC的中点O，连接AO，

由俯视图可知，AO⊥平面BCDE，CD⊂平面BCDE，

所以AO⊥CD.

又CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC，故CD⊥BF.

因为△ABC为正三角形，F是AC的中点，

所以BF⊥AC.

又AC∩CD＝D，故BF⊥平面ACD，

因为CM⊂平面ACD，所以BF⊥CM.

法二：取BC的中点O，连接AO，由俯视图可知，AO⊥平面BCDE，取DE中点H，连接OH，OH⊥BC，

以OC、OH、OA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz.

则A(0,0，)，B(－1,0,0)，C(1,0,0)，D(1,2,0)，可求得F(，0，)，

设点M的横坐标为x，可求得点M(x,2x，(1－x))

故BF⊥CM.

(2)建系同上，设A(0,0，a)，(a>0)，

设平面ADE的法向量为m＝(x₁，y₁，z₁)，

取x₁＝1，y₁＝－2，z₁＝－，

可得m＝(1，－2，－)．

又平面ABC的法向量为n＝(0,1,0)，

设平面ABE的法向量为p＝(x₂，y₂，z₂)，