Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB．（1）求证：BD⊥PC；
（2）求三棱锥A-PCD的体积；
（3）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

（1）证明：如图所示，连接BD交AC于点O．
∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．
又AC∩BD=O．
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．
（2）∵PA⊥底面ABCD，∴PA=2a是四棱锥P-ACD的高．
而S△ACD=

1

2

AD•CD=

1

2

a2．
∴V四棱锥P-ACD=

1

3

S△ACD•PA=

1

3

•

1

2

a2•2a=

1

3

a3．
（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，2a）．
则

BC

=（0，a，0），

PC

=（a，a，-2a），

DC

=（a，0，0）．
设平面PAC的法向量为

m

=（x，y，z），则

m • BC =ay=0 m • PC =ax+ay-2az=0

，令x=2，则y=0，z=1，∴

m

=(2，0，1)．
同理可得平面PCD的法向量

n

=（0，2，1）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

5 • 5

=

1

5

．
由图形可知：二面角B-PC-D的平面角是钝角，故其余弦值为-

1

5

．