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如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,∠ACB=90°,AB=2,BC=1,AA1=
6
,D是棱CC1的中点.
(Ⅰ)证明:A1D⊥平面AB1C1
(Ⅱ)求平面A1B1A与平面AB1C1所成的锐二面角的余弦值.
(Ⅰ)∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC.∴BC⊥CC1
∵AC∩CC1=C,∴BC⊥平面ACC1A1
∵A1D?平面ACC1A1,∴BC⊥A1D,而BCB1C1,则B1C1⊥A1D.
在Rt△ACC1与Rt△DC1A1中,
AC
CC1
=
DC1
AC1
=
2
2
,∴△ACC1~△DC1A1
∴∠AC1C=∠DA1C1.∴∠AC1C+∠C1DA1=90°.即A1D⊥AC1
∵B1C1∩AC1=C1,∴A1D⊥平面AB1C1
(Ⅱ)如图,设A1D∩AC1=H,过A1作AB1的垂线,垂足为G,连GH,
∵A1D⊥平面AB1C1,∴AB1⊥A1D,∴AB1⊥平面A1GH∴∠A1GH为二面角A1-AB1-C1的平面角.
在Rt△AA1B1中,AA1=
6
,A1B1=2,∴AB1=
10
,∴A1G=
AA1A1B1
AB1
=
2
15
5

在Rt△AA1C1中,AA1=
6
A1C1=
3
,∴AC1=3,∴A1H=
AA1A1C1
AC1
=
2

∴在Rt△A1GH中,sin∠A1GH=
A1H
A1G
=
5
2
2
15
=
30
6
cos∠A1GH=
6
6

故锐二面角A1-AB1-C1的余弦值为
6
6

即平面A1B1A与平面AB1C1所成的锐二面角的余弦值为
6
6

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AP
PB
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EF
EA
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6
3
,求PF的长度.

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