Question

如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA=acosB，D是BC延长线上的一点，AC=5，AD=7，CD=3．
（1）求∠ACD的大小和∠ACD的面积；
（2）求AB的长．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用余弦定理求得∠ACD，进而根据三角形面积公式求得答案．
（2）利用正弦定理把已知等式的边转化成角的正弦，整理求得B，进而根据正弦定理求得AB．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵cos∠ACD=

25+9-49

2×5×3

=-

1

2

，
∴∠ACD=120°，
∴S_△ACD=

1

2

AC•CD•sin∠ACD=

1

2

×5×3×

3

2

=

15 3

4

．
（2）∵bsinA=acosB，
∴由正弦定理得：sinBsinA=sinAcosB，sinA＞0，
∴sinB=cosB，
∴B=

π

4

，
∵∠ACB=

π

3

，

AB

sin π 3

=

AC

sin π 4

，
∴AB=

5

2 2

×

3

2

=

5 6

2

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．在解三角形问题中往往把正弦定理和余弦定理考查．