Question

5．设点P（x，y）（x≥0）为平面直角坐标系xOy中的一个动点（其中O为坐标原点），点P到定点M（0，$\frac{1}{2}$）的距离比点P到x轴的距离大$\frac{1}{2}$．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线l：y=kx与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|=2$\sqrt{6}$，求k的值．
（3）设点P的轨迹是曲线C，点Q（1，y₀）是曲线C上的一点，求以Q为切点的曲线C的切线方程．

Answer 1

分析 （1）过P作x轴的垂线且垂足为N，由题意可丨PM丨-丨PN丨=$\frac{1}{2}$，．由y≥0，|PN|=y，知$\sqrt{{x}^{2}-（y-\frac{1}{2}）^{2}}$=y-$\frac{1}{2}$，由此能求出点P的轨迹方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与抛物线方程，求得A和B点坐标，利用两点之间的距离公式即可求得k的值；
（3）由Q（1，y）是曲线C上一点，则x²=2y，y=$\frac{1}{2}$，求得切点坐标，由函数，求导得y'=x，由此能求出以Q为切点的曲线C 的切线方程．

解答 解：（1）过P作x轴的垂线且垂足为N，由题意可知：丨PM丨-丨PN丨=$\frac{1}{2}$，
而y≥0，∴|PN|=y，
∴$\sqrt{{x}^{2}-（y-\frac{1}{2}）^{2}}$=y-$\frac{1}{2}$，
化简得x²=2y（y≥0）为所求的方程．…（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2k}\\{y=2{k}^{2}}\end{array}\right.$，
A（0，0），B（2k，2k²）
则丨AB丨=$\sqrt{4{k}^{2}+4{k}^{4}}$，
∴k⁴+k²-6=0而k²≥0，
∴k²=2，
∴k=±$\sqrt{2}$，
∴k的值±$\sqrt{2}$．…（8分）
（3）Q（1，y）是曲线C上一点，
∴x²=2y，y=$\frac{1}{2}$，
∴切点为（1，$\frac{1}{2}$），
由y=$\frac{1}{2}$x²，求导得y'=x，
∴当x=1时k=1，
则直线方程为y-$\frac{1}{2}$（x-1），
即2x-2y-1=0是所求切线方程．…（14分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线的为位置关系，两点之间的距离公式，利用导数求函数的单调性，考查计算能力，属于中档题．